<section id="nice" data-tool="markdown编辑器" data-website="https://markdown.com.cn/editor"
    style="font-size: 16px; color: black; padding: 25px 30px; line-height: 1.6; word-spacing: 0px; letter-spacing: 0px; word-break: break-word; word-wrap: break-word; text-align: justify; font-family: Optima-Regular, Optima, PingFangSC-light, PingFangTC-light, 'PingFang SC', Cambria, Cochin, Georgia, Times, 'Times New Roman', serif; margin-top: -10px;">
    <h2 data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 30px; margin-bottom: 15px; font-weight: bold; color: black; font-size: 22px;"><span
            class="prefix" style="display: none;"></span><span class="content">阻容电路中电容两端电压公式的推导</span><span
            class="suffix"></span></h2>
    <h3 data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 30px; margin-bottom: 15px; font-weight: bold; color: black; font-size: 20px;"><span
            class="prefix" style="display: none;"></span><span class="content">问题描述</span><span class="suffix"
            style="display: none;"></span></h3>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        要计算下边电路中电容两端电压随时间变化。（根据戴维南定理，电容两端的其他部分可以用电压源和电阻串联表示，这可以作为其他一般线性电路的替代）</p>
    <figure data-tool="markdown.com.cn编辑器" style="margin: 0; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;"><img
            src="http://1.202.9.107:5500/capacitors-and-first-order-systems/%E7%94%B5%E8%B7%AF%E7%BB%93%E6%9E%84.png"
            alt="阻容电路" style="display: block; margin: 0 auto; width: auto; max-width: 100%;">
        <figcaption style="margin-top: 5px; text-align: center; color: #888; font-size: 14px;">阻容电路</figcaption>
    </figure>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        设初始条件为：</p>
    <ul data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; padding-left: 25px; color: black; list-style-type: disc;">
        <li>
            <section
                style="margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; line-height: 26px; text-align: left; color: rgb(1,1,1); font-weight: 500;">
                <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                        data-formula="v_c(0) = V_0" data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
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                            <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                                <g data-mml-node="math">
                                    <g data-mml-node="msub">
                                        <g data-mml-node="mi">
                                            <path data-c="1D463"
                                                d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
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                                            <path data-c="1D450"
                                                d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z" />
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                                        <path data-c="28"
                                            d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z" />
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                                        <path data-c="30"
                                            d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z" />
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                                        <path data-c="29"
                                            d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z" />
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                                        <path data-c="3D"
                                            d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z" />
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                                            <path data-c="1D449"
                                                d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z" />
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                                            <path data-c="30"
                                                d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z" />
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                                    </g>
                                </g>
                            </g>
                        </svg></span></span>，电容的初始电压。</section>
        </li>
        <li>
            <section
                style="margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; line-height: 26px; text-align: left; color: rgb(1,1,1); font-weight: 500;">
                <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                        data-formula="v_I(t) = V_I" data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
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                                                d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
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                                            <path data-c="1D43C"
                                                d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z" />
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                                        <g data-mml-node="mi">
                                            <path data-c="1D449"
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                                        </g>
                                        <g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)">
                                            <path data-c="1D43C"
                                                d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z" />
                                        </g>
                                    </g>
                                </g>
                            </g>
                        </svg></span></span>，直流电压源电压。</section>
        </li>
    </ul>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        现在来看下 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula="t > 0" data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mi">
                                <path data-c="1D461"
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                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(638.8,0)">
                                <path data-c="3E"
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                            </g>
                            <g data-mml-node="mn" transform="translate(1694.6,0)">
                                <path data-c="30"
                                    d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z" />
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                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> 之后的电容电压 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span
                class="inline-equation" data-formula="v_c(t)" data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="msub">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D463"
                                        d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="mi" transform="translate(518,-150) scale(0.707)">
                                    <path data-c="1D450"
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                                </g>
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(874.2,0)">
                                <path data-c="28"
                                    d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(1263.2,0)">
                                <path data-c="1D461"
                                    d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(1624.2,0)">
                                <path data-c="29"
                                    d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> 随时间的变化。</p>
    <h3 data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 30px; margin-bottom: 15px; font-weight: bold; color: black; font-size: 20px;"><span
            class="prefix" style="display: none;"></span><span class="content">数学推导</span><span class="suffix"
            style="display: none;"></span></h3>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        根据电容的伏安特性，有</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula="i = C \frac{d_v}{dt}" data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
                    xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false" viewbox="0 -942.3 3547.4 1295.1"
                    aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.798ex; width: 8.026ex; height: 2.93ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mi">
                                <path data-c="1D456"
                                    d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(622.8,0)">
                                <path data-c="3D"
                                    d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(1678.6,0)">
                                <path data-c="1D436"
                                    d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2438.6,0)">
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                                        <path data-c="1D451"
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                                    </g>
                                    <g data-mml-node="mi" transform="translate(553,-150) scale(0.707)">
                                        <path data-c="1D463"
                                            d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
                                    </g>
                                </g>
                                <g data-mml-node="mrow" transform="translate(243,-345) scale(0.707)">
                                    <g data-mml-node="mi">
                                        <path data-c="1D451"
                                            d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z" />
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                                    <g data-mml-node="mi" transform="translate(520,0)">
                                        <path data-c="1D461"
                                            d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z" />
                                    </g>
                                </g>
                                <rect width="868.9" height="60" x="120" y="220" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span></p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        根据节点电压法可以写出这个电路的节点方程</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula="RC\frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t) = v_i(t)" data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
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                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(1313.4,0)">
                                <path data-c="1D461"
                                    d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(1674.4,0)">
                                <path data-c="29"
                                    d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> 恒为 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span
                class="inline-equation" data-formula="V_I" data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
                    viewbox="0 -683 1022.4 833" aria-hidden="true"
                    style="vertical-align: -0.339ex; width: 2.313ex; height: 1.885ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="msub">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D449"
                                        d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)">
                                    <path data-c="1D43C"
                                        d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z" />
                                </g>
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span></p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        所以，方程为：</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula="RC\frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t) = V_I" data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
                    viewbox="0 -1047.1 9341.8 1399.9" aria-hidden="true"
                    style="vertical-align: -0.798ex; width: 21.135ex; height: 3.167ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mi">
                                <path data-c="1D445"
                                    d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)">
                                <path data-c="1D436"
                                    d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1519,0)">
                                <g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,516.8) scale(0.707)">
                                    <g data-mml-node="mi">
                                        <path data-c="1D451"
                                            d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z" />
                                    </g>
                                    <g data-mml-node="msub" transform="translate(520,0)">
                                        <g data-mml-node="mi">
                                            <path data-c="1D463"
                                                d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
                                        </g>
                                        <g data-mml-node="mi" transform="translate(518,-150) scale(0.707)">
                                            <path data-c="1D450"
                                                d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z" />
                                        </g>
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                                        <path data-c="28"
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    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        我们的目的是解出 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula="v_c(t)" data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
                    xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 2013.2 1000"
                    aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.566ex; width: 4.555ex; height: 2.262ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="msub">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D463"
                                        d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="mi" transform="translate(518,-150) scale(0.707)">
                                    <path data-c="1D450"
                                        d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z" />
                                </g>
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(874.2,0)">
                                <path data-c="28"
                                    d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(1263.2,0)">
                                <path data-c="1D461"
                                    d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(1624.2,0)">
                                <path data-c="29"
                                    d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span></p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        这里使用下面这个等式解这个微分方程</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula="v_c(t) = v_{cp}(t) + v_{ch}(t)" data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
                    viewbox="0 -750 9358.5 1037.2" aria-hidden="true"
                    style="vertical-align: -0.65ex; width: 21.173ex; height: 2.347ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="msub">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D463"
                                        d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="mi" transform="translate(518,-150) scale(0.707)">
                                    <path data-c="1D450"
                                        d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z" />
                                </g>
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(874.2,0)">
                                <path data-c="28"
                                    d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(1263.2,0)">
                                <path data-c="1D461"
                                    d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(1624.2,0)">
                                <path data-c="29"
                                    d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z" />
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                                <path data-c="3D"
                                    d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z" />
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                                    <path data-c="1D463"
                                        d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
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                                <g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"
                                    data-mjx-texclass="ORD">
                                    <g data-mml-node="mi">
                                        <path data-c="1D450"
                                            d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z" />
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                                <path data-c="29"
                                    d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> ，特解
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation" data-formula="v_{ch}(t)"
                data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"
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                                <path data-c="1D461"
                                    d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z" />
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                                <path data-c="29"
                                    d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> ，齐次解
    </p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        可以按照下面三个步骤找出这个微分方程的解：</p>
    <ol data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; padding-left: 25px; color: black; list-style-type: decimal;">
        <li>
            <section
                style="margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; line-height: 26px; text-align: left; color: rgb(1,1,1); font-weight: 500;">
                找到一个特殊解</section>
        </li>
        <li>
            <section
                style="margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; line-height: 26px; text-align: left; color: rgb(1,1,1); font-weight: 500;">
                找出对应的齐次方程的通解</section>
        </li>
        <li>
            <section
                style="margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; line-height: 26px; text-align: left; color: rgb(1,1,1); font-weight: 500;">
                根据初始条件，计算常数参数。</section>
        </li>
    </ol>
    <h4 data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 30px; margin-bottom: 15px; font-weight: bold; color: black; font-size: 18px;"><span
            class="prefix" style="display: none;"></span><span class="content">1.找特殊解</span><span class="suffix"
            style="display: none;"></span></h4>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula="RC\frac{dv_{cp}(t)}{dt} + v_{cp}(t) = V_I" data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
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                                            d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z" />
                                    </g>
                                    <g data-mml-node="mi" transform="translate(433,0)">
                                        <path data-c="1D45D"
                                            d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z" />
                                    </g>
                                </g>
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(1507.6,0)">
                                <path data-c="3D"
                                    d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="msub" transform="translate(2563.4,0)">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D449"
                                        d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)">
                                    <path data-c="1D43C"
                                        d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z" />
                                </g>
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> ，带入分方程中进行验证</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        因为常数的微分为 0， 所以上式为：</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" 0 + V_I = V_I" data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
                    xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false" viewbox="0 -683 5100.8 833"
                    aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.339ex; width: 11.54ex; height: 1.885ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mn">
                                <path data-c="30"
                                    d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)">
                                <path data-c="2B"
                                    d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="msub" transform="translate(1722.4,0)">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D449"
                                        d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)">
                                    <path data-c="1D43C"
                                        d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z" />
                                </g>
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(3022.6,0)">
                                <path data-c="3D"
                                    d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="msub" transform="translate(4078.4,0)">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D449"
                                        d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)">
                                    <path data-c="1D43C"
                                        d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z" />
                                </g>
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span></p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        等式成立，可以确定 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" V_I " data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
                    xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false" viewbox="0 -683 1022.4 833"
                    aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.339ex; width: 2.313ex; height: 1.885ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="msub">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D449"
                                        d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)">
                                    <path data-c="1D43C"
                                        d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z" />
                                </g>
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> 是 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span
                class="inline-equation" data-formula=" v_c(t) " data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
                    viewbox="0 -750 2013.2 1000" aria-hidden="true"
                    style="vertical-align: -0.566ex; width: 4.555ex; height: 2.262ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="msub">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D463"
                                        d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="mi" transform="translate(518,-150) scale(0.707)">
                                    <path data-c="1D450"
                                        d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z" />
                                </g>
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(874.2,0)">
                                <path data-c="28"
                                    d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(1263.2,0)">
                                <path data-c="1D461"
                                    d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(1624.2,0)">
                                <path data-c="29"
                                    d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> 的一个特解，既</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula="v_{cp} = V_I" data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
                    xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false" viewbox="0 -683 3585.8 970.2"
                    aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.65ex; width: 8.113ex; height: 2.195ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="msub">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D463"
                                        d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"
                                    data-mjx-texclass="ORD">
                                    <g data-mml-node="mi">
                                        <path data-c="1D450"
                                            d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z" />
                                    </g>
                                    <g data-mml-node="mi" transform="translate(433,0)">
                                        <path data-c="1D45D"
                                            d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z" />
                                    </g>
                                </g>
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(1507.6,0)">
                                <path data-c="3D"
                                    d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="msub" transform="translate(2563.4,0)">
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                    </g>
                </svg></span></span> 对应的齐次方程为</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula="RC\frac{dv_{ch}(t)}{dt} + v_{ch}(t) = 0" data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mi">
                                <path data-c="1D445"
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    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
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                </svg></span></span> 的一阶微分也是 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span
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                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> ，所以一般这种微分方程可以尝试使用 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span
                class="inline-equation" data-formula=" v_{ch}(t) = Ae^{st} " data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
                    viewbox="0 -805.6 5639.9 1055.6" aria-hidden="true"
                    style="vertical-align: -0.566ex; width: 12.76ex; height: 2.388ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="msub">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D463"
                                        d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"
                                    data-mjx-texclass="ORD">
                                    <g data-mml-node="mi">
                                        <path data-c="1D450"
                                            d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z" />
                                    </g>
                                    <g data-mml-node="mi" transform="translate(433,0)">
                                        <path data-c="210E"
                                            d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z" />
                                    </g>
                                </g>
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(1281.5,0)">
                                <path data-c="28"
                                    d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(1670.5,0)">
                                <path data-c="1D461"
                                    d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(2031.5,0)">
                                <path data-c="29"
                                    d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mo" transform="translate(2698.2,0)">
                                <path data-c="3D"
                                    d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(3754,0)">
                                <path data-c="1D434"
                                    d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="msup" transform="translate(4504,0)">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D452"
                                        d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z" />
                                </g>
                                <g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,363) scale(0.707)"
                                    data-mjx-texclass="ORD">
                                    <g data-mml-node="mi">
                                        <path data-c="1D460"
                                            d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z" />
                                    </g>
                                    <g data-mml-node="mi" transform="translate(469,0)">
                                        <path data-c="1D461"
                                            d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z" />
                                    </g>
                                </g>
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> 这种形式的通式来尝试，其中 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span
                class="inline-equation" data-formula=" A " data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
                    viewbox="0 -716 750 716" aria-hidden="true"
                    style="vertical-align: 0px; width: 1.697ex; height: 1.62ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mi">
                                <path data-c="1D434"
                                    d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> 和 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span
                class="inline-equation" data-formula=" s " data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mi">
                                <path data-c="1D460"
                                    d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> 都为待确定参数，</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        带入验证，</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" RC\frac{d_{Ae^{st}}}{d_t} + Ae^{st} = 0 " data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mi">
                                <path data-c="1D445"
                                    d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z" />
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                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)">
                                <path data-c="1D436"
                                    d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1519,0)">
                                <g data-mml-node="msub" transform="translate(220,553) scale(0.707)">
                                    <g data-mml-node="mi">
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                                    </g>
                                    <g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(553,-293.4) scale(0.707)"
                                        data-mjx-texclass="ORD">
                                        <g data-mml-node="mi">
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                                                d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z" />
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                                        <g data-mml-node="msup" transform="translate(750,0)">
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                                                    d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z" />
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                                                    <path data-c="1D460"
                                                        d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z" />
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        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
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                                <path data-c="29"
                                    d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z" />
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                                <path data-c="3D"
                                    d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z" />
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                                    <path data-c="1D452"
                                        d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z" />
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                                        <path data-c="1D461"
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                                    </g>
                                </g>
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> 成立。</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">将
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation" data-formula=" RC "
                data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"
                    role="img" focusable="false" viewbox="0 -705 1519 727" aria-hidden="true"
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mi">
                                <path data-c="1D445"
                                    d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z" />
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                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)">
                                <path data-c="1D436"
                                    d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> 记为 
                <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span
                class="inline-equation" data-formula=" \tau " data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mi">
                                <path data-c="1D70F"
                                    d="M39 284Q18 284 18 294Q18 301 45 338T99 398Q134 425 164 429Q170 431 332 431Q492 431 497 429Q517 424 517 402Q517 388 508 376T485 360Q479 358 389 358T299 356Q298 355 283 274T251 109T233 20Q228 5 215 -4T186 -13Q153 -13 153 20V30L203 192Q214 228 227 272T248 336L254 357Q254 358 208 358Q206 358 197 358T183 359Q105 359 61 295Q56 287 53 286T39 284Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> ， 读作 tào，单位是时间</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" v_{ch}(t) = Ae^{-\frac{t}{\tau}} " data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
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                </svg></span></span></p>
    <h4 data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 30px; margin-bottom: 15px; font-weight: bold; color: black; font-size: 18px;"><span
            class="prefix" style="display: none;"></span><span class="content">3.带入初始条件，计算常数参数</span><span
            class="suffix" style="display: none;"></span></h4>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        根据前两步计算，我们还差一个未知常数参数 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" A " data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
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                    </g>
                </svg></span></span> 没有得到，这一步使用初始条件来计算 <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span
                class="inline-equation" data-formula=" A " data-formula-type="inline-equation"
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                </svg></span></span>， 目前我们已经得到了</p>
    <ul data-tool="markdown.com.cn编辑器"
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                <p
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                    <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
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                <p
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                    <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
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                    </g>
                </svg></span></span></p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">可得
    </p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" V_0 = V_I + Ae^{-\frac{0}{\tau}} " data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
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    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" A = V_0 - V_I " data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
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                </svg></span></span></p>
    <h4 data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 30px; margin-bottom: 15px; font-weight: bold; color: black; font-size: 18px;"><span
            class="prefix" style="display: none;"></span><span class="content">最终结果</span><span class="suffix"
            style="display: none;"></span></h4>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        通过以上三步，可以得到最终的结果为：</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" v_c(t) = V_I + (V_0 - V_I)e^{-\frac{t}{\tau}}，\tau = RC "
                data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"
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                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(11302.7,0)"><text data-variant="italic"
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                                    font-style="italic">，</text></g>
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                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(14065.8,0)">
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                                    d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span></p>
    <h3 data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 30px; margin-bottom: 15px; font-weight: bold; color: black; font-size: 20px;"><span
            class="prefix" style="display: none;"></span><span class="content">举例验证</span><span class="suffix"
            style="display: none;"></span></h3>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        通过设定一些具体的参数进行验证，设</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" V_0 = 5v " data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="msub">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D449"
                                        d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z" />
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                                    <path data-c="30"
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                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(2853.1,0)">
                                <path data-c="1D463"
                                    d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
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                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> ，电容上携带的初始电压
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" V_I = 3.4v " data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
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                                    <path data-c="1D43C"
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                                <path data-c="3D"
                                    d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z" />
                            </g>
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                                <path data-c="33"
                                    d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z" />
                                <path data-c="2E"
                                    d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"
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                                <path data-c="34"
                                    d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"
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                            </g>
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                                <path data-c="1D463"
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                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> ，电路中独立电压源的直流电压
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" R = 1k\Omega " data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
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                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
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                                <path data-c="1D445"
                                    d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z" />
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                                    d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z" />
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                                <path data-c="31"
                                    d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z" />
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                                <path data-c="1D458"
                                    d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z" />
                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(3113.6,0)">
                                <path data-c="3A9"
                                    d="M55 454Q55 503 75 546T127 617T197 665T272 695T337 704H352Q396 704 404 703Q527 687 596 615T666 454Q666 392 635 330T559 200T499 83V80H543Q589 81 600 83T617 93Q622 102 629 135T636 172L637 177H677V175L660 89Q645 3 644 2V0H552H488Q461 0 456 3T451 20Q451 89 499 235T548 455Q548 512 530 555T483 622T424 656T361 668Q332 668 303 658T243 626T193 560T174 456Q174 380 222 233T270 20Q270 7 263 0H77V2Q76 3 61 89L44 175V177H84L85 172Q85 171 88 155T96 119T104 93Q109 86 120 84T178 80H222V83Q206 132 162 199T87 329T55 454Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> ，电阻阻值
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" C = 10uF " data-formula-type="inline-equation" style="position: relative;"><svg
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                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="mi">
                                <path data-c="1D436"
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                                <path data-c="3D"
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                                <path data-c="31"
                                    d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z" />
                                <path data-c="30"
                                    d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"
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                            </g>
                            <g data-mml-node="mi" transform="translate(3665.6,0)">
                                <path data-c="1D439"
                                    d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z" />
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span> ，电容容值
    </p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        将这些具体数值带入函数中，可得</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
                data-formula=" v_c(t) = 3.4 + (5 - 3.4)e^{-\frac{t}{0.01}} " data-formula-type="inline-equation"
                style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false"
                    viewbox="0 -957.1 11924.9 1207.1" aria-hidden="true"
                    style="vertical-align: -0.566ex; width: 26.979ex; height: 2.731ex;">
                    <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)">
                        <g data-mml-node="math">
                            <g data-mml-node="msub">
                                <g data-mml-node="mi">
                                    <path data-c="1D463"
                                        d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z" />
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                                        d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z" />
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                                <path data-c="33"
                                    d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z" />
                                <path data-c="2E"
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                    </g>
                </svg></span></span></p>
    <h4 data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 30px; margin-bottom: 15px; font-weight: bold; color: black; font-size: 18px;"><span
            class="prefix" style="display: none;"></span><span class="content">绘制曲线</span><span class="suffix"
            style="display: none;"></span></h4>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        使用绘图软件，将下边这个函数绘制出来</p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        <span class="span-inline-equation" style="cursor:pointer"><span class="inline-equation"
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                            </g>
                            <g data-mml-node="msup" transform="translate(9625.6,0)">
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                                    </g>
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                                            <path data-c="1D461"
                                                d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z" />
                                        </g>
                                        <g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)">
                                            <path data-c="30"
                                                d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z" />
                                            <path data-c="2E"
                                                d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"
                                                transform="translate(500,0)" />
                                            <path data-c="30"
                                                d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"
                                                transform="translate(778,0)" />
                                            <path data-c="31"
                                                d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"
                                                transform="translate(1278,0)" />
                                        </g>
                                        <rect width="1457.2" height="60" x="120" y="220" />
                                    </g>
                                </g>
                            </g>
                        </g>
                    </g>
                </svg></span></span></p>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        可以得到如下曲线</p>
    <figure data-tool="markdown.com.cn编辑器" style="margin: 0; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;"><img
            src="http://1.202.9.107:5500/capacitors-and-first-order-systems/%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%9B%B2%E7%BA%BF.png"
            alt="函数曲线" style="display: block; margin: 0 auto; width: auto; max-width: 100%;">
        <figcaption style="margin-top: 5px; text-align: center; color: #888; font-size: 14px;">函数曲线</figcaption>
    </figure>
    <h4 data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 30px; margin-bottom: 15px; font-weight: bold; color: black; font-size: 18px;"><span
            class="prefix" style="display: none;"></span><span class="content">LTspice仿真</span><span class="suffix"
            style="display: none;"></span></h4>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        下边是仿真结果</p>
    <figure data-tool="markdown.com.cn编辑器" style="margin: 0; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;"><img
            src="http://1.202.9.107:5500/capacitors-and-first-order-systems/LTspice%E4%BB%BF%E7%9C%9F.png" alt="仿真结果"
            style="display: block; margin: 0 auto; width: auto; max-width: 100%;">
        <figcaption style="margin-top: 5px; text-align: center; color: #888; font-size: 14px;">仿真结果</figcaption>
    </figure>
    <h4 data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="margin-top: 30px; margin-bottom: 15px; font-weight: bold; color: black; font-size: 18px;"><span
            class="prefix" style="display: none;"></span><span class="content">元件实测</span><span class="suffix"
            style="display: none;"></span></h4>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        实验测试通过设置下降沿单次触发</p>
    <figure data-tool="markdown.com.cn编辑器" style="margin: 0; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;"><img
            src="http://1.202.9.107:5500/capacitors-and-first-order-systems/%E7%A4%BA%E6%B3%A2%E5%99%A8%E7%BB%93%E6%9E%9C.jpg"
            alt="实测结果" style="display: block; margin: 0 auto; width: auto; max-width: 100%;">
        <figcaption style="margin-top: 5px; text-align: center; color: #888; font-size: 14px;">实测结果</figcaption>
    </figure>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        对电阻电容的测量，误差不大，仿真就按标称值进行的</p>
    <figure data-tool="markdown.com.cn编辑器" style="margin: 0; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;"><img
            src="http://1.202.9.107:5500/capacitors-and-first-order-systems/%E6%B5%8B%E9%87%8F%E7%94%B5%E9%98%BB.jpg"
            alt="电阻阻值" style="display: block; margin: 0 auto; width: auto; max-width: 100%;">
        <figcaption style="margin-top: 5px; text-align: center; color: #888; font-size: 14px;">电阻阻值</figcaption>
    </figure>
    <figure data-tool="markdown.com.cn编辑器" style="margin: 0; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;"><img
            src="http://1.202.9.107:5500/capacitors-and-first-order-systems/%E6%B5%8B%E9%87%8F%E7%94%B5%E5%AE%B9.jpg"
            alt="电容容值" style="display: block; margin: 0 auto; width: auto; max-width: 100%;">
        <figcaption style="margin-top: 5px; text-align: center; color: #888; font-size: 14px;">电容容值</figcaption>
    </figure>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        电脑电源改装的电压源，手动插拔切换的电压</p>
    <figure data-tool="markdown.com.cn编辑器" style="margin: 0; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;"><img
            src="http://1.202.9.107:5500/capacitors-and-first-order-systems/%E7%94%B5%E5%8E%8B%E6%BA%90.jpg" alt="用到的电源"
            style="display: block; margin: 0 auto; width: auto; max-width: 100%;">
        <figcaption style="margin-top: 5px; text-align: center; color: #888; font-size: 14px;">用到的电源</figcaption>
    </figure>
    <p data-tool="markdown.com.cn编辑器"
        style="font-size: 16px; padding-top: 8px; padding-bottom: 8px; margin: 0; line-height: 26px; color: black;">
        用面包板和直插的元件搭建的测试电路</p>
    <figure data-tool="markdown.com.cn编辑器" style="margin: 0; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;"><img
            src="http://1.202.9.107:5500/capacitors-and-first-order-systems/%E7%94%B5%E8%B7%AF%E5%AE%9E%E7%89%A9%E5%9B%BE.jpg"
            alt="电路实物图" style="display: block; margin: 0 auto; width: auto; max-width: 100%;">
        <figcaption style="margin-top: 5px; text-align: center; color: #888; font-size: 14px;">电路实物图</figcaption>
    </figure>
</section>